Настоятельно рекомендую все пути к бинарникам прописать абсолютными -- для верности.
Пользователь от которого запускается скрипт должен быть доверенным для Exim'а (в общем случае, просто добавте его в группу mail).

Кроме того, объясню шаманскую строчку.
По непонятным для меня причинам (кто объяснит?!) экзим иногда теряет тела писем после доставки. В следствие чего, в выводе списка писем (exim -bp) объем тела не указан.
exiqgrep такое не понимает и падает с подобной ошибкой:

Line mismatch: 4h 1Kg6sa-0454TM-Tu

Поэтому и была написана "шаманская строчка", которая таких "призраков" изгоняет.

Рекомендую очень хорошо понять, что делает скрипт перед тем как пихать его в крон. Почта удаляется из очереди навсегда.

#!/bin/bash

# Определяем qualify_domain -- он нужен для удаления всякой лажи
domain=`exim -bP | grep -i "^qualify_domain" | sed -e s/.*= //g`

# Это очень шаманская строчка
exim -bpr | grep ' /dev/null

# если скрипту передан параметр c, то включается более агрессивный режим
if [ "$1" == "c" ]; then

# Удаляем все баунсы старше 10 минут
exiqgrep -o 600 -if '^<>$' |xargs exim -Mrm
# Удаляем сообщения с адресами начинающимися с подчерка, минуса или вертикальной черты
exiqgrep -f '^<_|^<-|^<|' -i | xargs exim -Mrm
exiqgrep -r '^_|^-|^|' -i | xargs exim -Mrm
#Удаляем сообщения отправленные скриптами на китайские домены старше 10 минут
exiqgrep -f "$domain" -r '.cn$' -o 600 -i | xargs exim -Mrm
# Удаляем любые сообщения отправленные скриптами, если они не доставлись за 12 часов
exiqgrep -f "$domain" -o 43200 -i | xargs exim -Mrm
exit
fi

# В мягком режиме удаляем только frozen баунсы и письма с невозможными адресами в заголовках
exiqgrep -zif '^<>$' |xargs exim -Mrm
exiqgrep -f '^<_|^<-|^<|' -i | xargs exim -Mrm
exiqgrep -r '^_|^-|^|' -i | xargs exim -Mrm